a) Xét tam giác MNI và tam giác QPI, ta có:
\(\widehat{MIN}=\widehat{QIP}\) ( Hai góc đối đỉnh )
MI = IQ ( Theo giả thiết )
NI=IP ( Do I là trung điểm của NP )
=> \(\Delta MNI=\Delta QPI\) ( Cạnh-góc-cạnh )
=> \(\widehat{MNI}=\widehat{QPI}\) ( Hai góc tương ứng )
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
=> MN//QP
Mà MN \(\perp\) MP
=> QP\(\perp\) MP
Xét tam giác vuông là tam giác MNP và tam giác QPM, có:
MP là cạnh chung
QP = MN ( Do tam giác MNI = Tam giác QPI )
=> Tam giác MNP = Tam giác QPM ( Cạnh vuông- cạnh vuông )
=> NP=MQ
Mà MI = IQ ; NI = IP
=> NI = IQ ; MI = IP
Xét tam giác MNI và tam giác PQI, có:
MN = QP ( Chứng minh trên )
MI = IP ( Chứng minh trên )
NI = QI ( Chứng minh trên )
=> Tam giác MNI = Tam giác PQI ( Cạnh-cạnh-cạnh )
b) Xét tam giác PMN và tam giác NQP, có :
NP là cạnh chung
MN = QP ( Chứng minh trên )
\(\widehat{NPQ}=\widehat{PNM}\) ( Do MN//PQ )
=> Tam giác PMN = Tam giác NQP ( Cạnh-góc-cạnh )
\(=>\widehat{NMP}=\widehat{NQP}\) ( Hai góc tương ứng )
Mà \(\widehat{NMP}\) là góc vuông
=> \(\widehat{NQP}\) là góc vuông
=> NQ \(\perp\) QP
c) Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác NMP. Ta có :
\(NP^2=NM^2+MP^2\)
=> \(NP^2=4^2+3^2\left(Cm\right)\)
=> \(NP^2=16+9\left(cm\right)\)
=> NP\(^2\) = 25 (cm)
\(=>NP=\sqrt{25}\left(cm\right)\)
=> NP = 5(cm)
Mà I là trung điểm của NP
=> NI = NP/2
=> NI=5/2 (Cm)
=> NI = 2,5 cm
Mà NI= MI ( Chứng minh trên )
=> MI = 2,5 cm
Vậy : NP=5cm ; MI = 2,5 cm
Giải
a) Xét \(\Delta MNI\) và \(\Delta PQI\). Có:
MI = IQ (gt)
IN = IP (vì I là trung điểm NP)
góc QIP = góc NIM (2 góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta MNI=\Delta PQI\) (c.g.c)
Vậy \(\Delta MNI=\Delta PQI\) (đpcm)
b) Vì \(\Delta MNI=\Delta PQI\) (theo câu a)
nên:
góc MNI = góc QPI (2 góc tương ứng)
NM = QP (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta NQP\) và \(\Delta NMP\). Có:
NP cạnh chung
NM = QP (cmt)
góc MNI = góc QPI (cmt)
\(\Rightarrow\Delta NQP=\Delta NMP\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\) góc NMP = góc NQP (= \(90^0\)) (2 góc tương ứng)
Vậy PQ \(\perp\) QN