\(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\)
\(\Rightarrow\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\ge\left|x+y\right|^2\)
\(\Rightarrow x^2+2\left|xy\right|+y^2\ge x^2+2xy+y^2\)
\(\Rightarrow2\left|xy\right|\ge2xy\left(luôn-đúng\right)\)
\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) (1)
\(\Leftrightarrow a^2+2\left|ab\right|+b2\ge a^2+2ab+b^2\) (vì 2 vế của(1) không âm)
\(\Leftrightarrow2\left|ab\right|\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left|ab\right|\ge ab\) (2)
Vì BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng
Xảy ra dấu đẳng thứ khi và chỉ khi ab\(\ge0\)