Cho tam giác ABC, \(\widehat{A}\)= 90 độ, \(\widehat{B}\)= 60 độ, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho BH=HD
a) Chứng minh tam giác ABD đều.
b) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC ở E. Tam giác AED là tam giác gì? Vì sao?
c) Từ C kẻ CF vuông góc với AD. Chứng minh: AH=HF=FC , Chứng minh \(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AH^2}\)
a) AH ⊥ BD (vì AH là đường cao Δ ABC )
HD=HB
⇒ AD = AB ( Quan hệ đương xiên- hình chiếu)
⇒ Δ ABD cân tại A
mà ∠ABD = 60\(^o\)
⇒ Δ ABD đều
b) Ta có : ∠ BAD +∠DAC =∠BAC
mà ∠ BAD =60\(^o\) ( Δ BAD đều ), ∠ BAC = 90\(^0\)
⇒60\(^0\) +∠ DAC = 90\(^0\)
⇒∠DAC = 90\(^0\) - 60\(^0\) =30\(^0\) (1)
Vì ED ⊥ BC ⇒ ∠EDB =90\(^0\)
Tương tự trên ∠BDA +∠ADE =∠EDB ⇒∠ADE =30\(^0\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∠DAC =∠ ADE =30\(^0\)
⇒ Δ AED cân tại E
c)Ta có:∠BDA+ ∠ADC= 180\(^0\) ,mà ∠BDA=60\(^0\)
⇒∠ADC=180\(^0\)- 60\(^0\)= 120\(^o\)
ΔADC có: ∠ADC+ ∠DAC +∠ DBA =180\(^o\)
⇒120\(^o\) +30\(^o\) + ∠ DBA= 180\(^o\)
⇒∠DBA=30\(^o\)
⇒∠DBA =∠ DAC =30\(^o\) ⇒ ΔADC cân tại D
Xét Δ AHD , Δ CFD có:
AH⊥BC, CF⊥AD
AD=DC ( Δ ACD cân tại D)
∠HDA =∠ FDC ( vì đối đỉnh )
⇒ Δ vuông AHD = Δ vuông CFD ( cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ HA= FC( 2 cạnh tương ứng ) (3)
và HD=DF ( 2 cạnh tương ứng)⇒ ∠DHF =∠DFH =\(\dfrac{180^0-g\text{óc}HDF}{2}\) (theo tính chất Δ cân)(4)
Ta có: ΔDAC cân tại D (cmt)⇒∠ADC = 180\(^o\) - (∠DAC+ ∠ DCA)
=180\(^o\) -( 30\(^o\) +30\(^o\) )
= 120\(^o\)
Ta có ∠ADC = ∠ HDF= 120\(^o\) ( vì đối đỉnh )
Thay ∠HDF = 120\(^o\) vào ( 4 ) ta có:∠ HFD =(180\(^o\)- 120\(^o\)) : 2 =30\(^o\)(5)
ΔABD đều⇒ đường cao AH đồng thời là phân giác∠ BAD
⇒ ∠HAD= ∠BAD :2= 60\(^o\) :2 =30\(^o\)(6)
Từ (5),(6) ⇒ ∠HAD =∠HFD ⇒HA =HF (tính chất Δ cân) (7)
Từ (3), (7) ⇒HA =HF=FC