Cho tam giác ABC vuông tại A,có AB=9cm,BC=15cm.
a)Tính độ dài AC và so sánh các góc của tam giác ABC.
b)Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là trung điểm BD.CM tam giác ABC=tam giác ADC từ đó chứng minh tam giác BCD cân
c) Gọi K là trung điểm của cạnh BC.Đường thẳng DK cắt cạnh AC tịa M.Tính độ dài đoạn MC
d) Đường trung trực của cạnh AC cắt đường thẳng DC tại Q.Chứng minh ba điểm B,M,Q thẳng hàng.
a ) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có :
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2\Leftrightarrow AC=12cm\)
Có AB < AC \(\Rightarrow\widehat{ACB}< \widehat{ABC}\)
AC < BC \(\Rightarrow\widehat{ABC}< \widehat{BAC}\)
\(AB< BC\Rightarrow\widehat{ACB}< \widehat{BAC}\)
b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADC\) có:
\(AB=AD;AC:chung;\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=90^o\)
\(\Rightarrow BC=DC\Rightarrow\Delta BDC\) cân tại C
c) Xét \(\Delta BDC\) có : CA ; AK lần lượt là trung tuyến của BD và BC và M là giao điêm của AC và DC
\(\Rightarrow\) M là trọng tâm của \(\Delta BDC\) \(\Rightarrow MC=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}12=8cm\)
d ) Xét \(\Delta BDC\) có CA là trung tuyến \(\Rightarrow\) CA là phân giác
\(\Rightarrow\widehat{DCM}=\widehat{BCM}\)
Xét \(\Delta DCM\) và \(\Delta BCM\) có :
\(CD=CB;CM:chung;\)\(\widehat{DCM}=\widehat{BCM}\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta DCM\) = \(\Delta BCM\)
\(\Rightarrow DM=BM\) và \(\widehat{QDM}=\widehat{KBM}\)
Xét \(\Delta DQM\) và \(\Delta BKM\) có :
\(\widehat{QDM}=\widehat{KBM}\) ; \(DM=BM\) ; \(\widehat{DMQ}=\widehat{BMK}\) (đối đỉnh )
\(\Rightarrow\) \(\Delta DQM\) = \(\Delta BKM\)
\(\Rightarrow\) DQ = BK
+) Ta có : CQ + DQ = CD
CK + BK = CB
mà CD = CB , DQ = BK
\(\Rightarrow\) CQ = CK mà CK = BK
\(\Rightarrow\) CQ = BK
Mặt khác , BK = DQ
\(\Rightarrow\) CQ = DQ \(\Rightarrow\) Q là trung điểm cạnh CD
+) ΔBCD có M là trọng tâm
\(\Rightarrow\) BM là đường trung tuyến ứng với cạnh CD
mà Q là trung điểm cạnh CD
\(\Rightarrow\) BM đi qua Q
\(\Rightarrow\)B, M , Q thẳng hàng
