Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=15^2-9^2=12^2\)
hay AC=12(cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{108}{15}=7.2\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{12^2}{15}=\dfrac{144}{15}=9.6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
Xét ΔACH có AD là đường phân giác ứng với cạnh CH, ta được:
\(\dfrac{DH}{AH}=\dfrac{DC}{AC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)
hay \(\dfrac{DH}{7.2}=\dfrac{DC}{12}\)
mà DH+DC=CH=9,6(cm)
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{DH}{7.2}=\dfrac{DC}{12}=\dfrac{DH+DC}{7.2+12}=\dfrac{9.6}{19.2}=\dfrac{1}{2}\)
Do đó:
\(DH=7.2\cdot\dfrac{1}{2}=3.6\left(cm\right)\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔADH vuông tại H, ta được:
\(AD^2=DH^2+AH^2\)
\(\Leftrightarrow AD^2=7.2^2+3.6^2=64.8\)
hay \(AD=\dfrac{18\sqrt{5}}{5}\left(cm\right)\)