Cho tam giác ABC vuông tại A, AB > AC. M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a) CMR: AB = DC và AB // DC
b) CMR: Tam giác ABC = Tam giác CDA , từ đó suy ra AM = \(\frac{BC}{2}\)
c) Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. CMR: BE // AM
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để AC = \(\frac{BC}{2}\)
e) Gọi O là trung điểm của AB. CMR: ba điểm E, O, D thẳng hàng
a) Xét ΔABM và ΔDCM ta có:
AM = MD (GT)
\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\) (đối đỉnh)
BM = CM (GT)
=> ΔABM = ΔDCM (c - g - c)
=> AB = CD (2 cạnh tương ứng)
Và: \(\widehat{BAM}=\widehat{MDC}\) (2 góc tương ứng)
Mà: 2 góc này lại là 2 góc so le trong
=> AB // CD
b) Có: AB // CD (câu a)
=> \(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}\) (đồng vị)
Xét ΔABC và ΔCDA ta có:
AB = CD (câu a)
\(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}\) (cmt)
AC: cạnh chung
=> ΔABC = ΔCDA (c - g - c)
=> BC = AD (2 cạnh tương ứng) (1)
Có: AM = DM (GT)
=> M là trung điểm của AD
=> \(AM=\frac{AD}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(AM=\frac{BC}{2}\)
c) Có: \(\widehat{BAC}+\widehat{BAE}=180^0\) (kề bù)
=> \(\widehat{BAE}=180^0-\widehat{BAC}=180^0-90^0=90^0\)
Có: AB // CD (câu a)
=> \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (so le trong)
Xét ΔAMC và ΔDMB ta có:
AB = CD (câu a)
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (cmt)
AD: cạnh chung
=> ΔAMC = ΔDMB (c - g - c)
=> AC = BD (2 cạnh tương ứng)
Và: \(\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\) (2 góc tương ứng) (1)
Có: ΔABC = ΔCDA (câu b)
=> \(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\) (2 góc tương ứng)
Mà: \(\widehat{BAC}=90^0\)
=> \(\widehat{ACD}=90^0\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ABD}=90^0\)
Có: AC = BD (cmt)
Lại có: AC = AE (GT)
=> BD = AE
Xét ΔABE và ΔBAD ta có:
BD = AE (cmt)
\(\widehat{ABD}=\widehat{EAB}\left(=90^0\right)\)
AB: canh chung
=> ΔABE = ΔBAD (c - g - c)
=> \(\widehat{EBA}=\widehat{BAD}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này lại là 2 góc so le trong nên
EB // AD
Hay: EB // AM
P/s: Gõ mỏi tay quá!