Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:

a) BH = AI

b) \(BH^2\)+\(CI^2\)=\(2AM^2\)

c) IM là phân giác của góc HIC

Answer 1

a) t/g AHB vuông tại H có: BAH + ABH = 90^o

t/g ABC vuông tại A có: BAH + CAH = 90^o

=> ABH = CAH

Xét t/g AHB vuông tại H và t/g CIA vuông tại I có:

AB = AC (gt)

ABH = CAI (cmt)

Do đó, t/g AHB = t/g CIA ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = AI (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) t/g AHB = t/g CIA (câu a)

=> AH = CI (2 cạnh tương ứng)

T/g ABH vuông tại H có:

AH² + BH² = AB² (Py-ta-go) (1)

= CI² + BH²

T/g ABC vuông cân tại A có:

2.AB² = BC² (Py-ta-go) (2)

AM là đường trung tuyến của t/g BAC vuông tại A nên AM = 1/2BC <=> 2AM = BC => 4AM² = BC²

Thay vào (2) => AB² = 2AM²

Thay vào (1) ta có đpcm

Answer 2

c.)

AM \(\perp\) BM

AI \(\perp\) BH

=> MBH = MAI

Ta có: BH = AI (ý a.)

MBH = MAI (cmt)

BM = AM

=> T/g BHM = T/g AIM (g.c.g)

=> HM = IM (1)

BMH = AIM (2)

Từ (1) và (2) => T/g IMH vuông cân tại M

=> IM là p/g của góc HIC