Giải:
a, Ta có: \(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o\left(\widehat{AHB}=90^o\right)\)
\(\widehat{MAD}+\widehat{BAH}=90^o\left(\widehat{DAB}=90^o\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{MAD}\)
Xét \(\Delta ABH,\Delta DAM\) có:
AB = AD ( gt )
\(\widehat{AHB}=\widehat{DMA}=90^o\)
\(\widehat{ABH}=\widehat{MAD}\) ( cmt )
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta DAM\) ( c.huyền - g.nhọn )
\(\Rightarrow AH=DM\) ( cạnh t/ứng ) ( đpcm )
b, Gọi I là giao của DE và MN
Chứng minh tương tự phần a ta có NE = AH ( đpcm )
\(\Rightarrow DM=NE\)
Có: \(\widehat{IDM}+\widehat{DIM}=90^o\left(\widehat{DMI}=90^o\right)\)
\(\widehat{NEI}+\widehat{EIN}=90^o\left(\widehat{ENI}=90^o\right)\)
Mà \(\widehat{DIM}=\widehat{EIN}\) ( đối đỉnh )
\(\Rightarrow\widehat{IDM}=\widehat{NEI}\)
Xét \(\Delta DMI,\Delta ENI\) có:
\(\widehat{IDM}=\widehat{IEN}\left(cmt\right)\)
DM = NE ( cmt )
\(\widehat{DMI}=\widehat{ENI}\left(=90^o\right)\)
\(\Rightarrow\Delta DMI=\Delta ENI\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow DI=IE\) ( cạnh t/ứng )
\(\Rightarrow\)I là trung điểm của DE
\(I\in MN\Rightarrow MN\) đi qua trung điểm của DE
a, Do tam giác ABH vuông tại H => \(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^0\) (1)
Mà \(\widehat{BAH}+90^0+\widehat{DAM}=180^0\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{DAM}=90^0\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ABH}=\widehat{DAM}\)
Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta ADM\) có:
\(\widehat{DMA}=\widehat{AHB}=90^0\)
AB=AD (gt)
\(\widehat{ABH}=\widehat{DAM}\) (cmt)
\(\Rightarrow\Delta BAH=\Delta ADM\left(CH-GN\right)\)
=> DM=AH (2 cạnh tương ứng)
Vậy DM=AH.
b, Vì tam giác AHC vuông tại H \(\Rightarrow\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^0\) (3)
Mà \(\widehat{HAC}+90^0+\widehat{NAE}=180^0\Rightarrow\widehat{HAC}+\widehat{NAE}=90^0\) (4)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{HCA}=\widehat{NAE}\)
Xét tam giác AHC và tam giác ENA có:
\(\widehat{AHC}=\widehat{ENA}=90^0\)
AC=AE (gt)
\(\widehat{HCA}=\widehat{NAE}\) (cmt)
\(\Rightarrow\Delta AHC=\Delta ENA\left(CH-GN\right)\Rightarrow AH=EN\)
Mà AH=DM (cmt) => DM=EN
Gọi F là giao điểm của NM và DE, xét \(\Delta DFM\) và \(\Delta EFN\) có:
\(\widehat{DFM}=\widehat{EFN}\left(đ^2\right)\)
DM=EN
\(\widehat{DMF}=\widehat{ENF}=90^0\)
=> \(\Delta DFM=\Delta EFN\left(CH-GN\right)\) => DF=EF. Mặt khác, F thuộc DE => F là trung điểm của DE => MN đi qua trung điểm của DE (F thuộc MN)
Vậy MN đi qua trung điểm của DE
a, Ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{DAM}=90^o\);\(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^o\)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{DAM}=\widehat{ABH}\)
Xét tam giác ADM vuông tại M và tam giác BAH vuông tại H ta có:
AD=BA(gt);\(\widehat{DAM}=\widehat{ABH}\) (cmt)
Do đó tam giác ADM=tam giác BAH(cạnh huyền - góc nhọn)
=> DM=AH(cặp cạnh tương ứng) (đpcm)
b, Ta có: \(\widehat{HAC}+\widehat{NAE}=90^o\);\(\widehat{HAC}+\widehat{ACH}=90^o\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{NAE}=\widehat{ACH}\)
Xét tam giác AEN vuông tại N và tam giác CAH vuông tại H ta có:
AE=CA(gt); \(\widehat{NAE}=\widehat{ACH}\) (cmt)
Do đó tam giác AEN=tam giác CAH(cạnh huyền - góc nhọn)
=> EN=AH(cặp cạnh tương ứng)
mà DM=AH(cm câu a)
nên EN=DM
Gọi giao điểm của MN và DE là I (bạn tự thêm điểm trên hình nha mình quên)
Ta có: \(90^o-\widehat{DIM}=90^o-\widehat{EIN}\rightarrow \widehat{IDM}=\widehat{IEN}\)
Xét tam giác DMI và tam giác ENI ta có:
\(\widehat{DMI}=\widehat{ENI}(=90^o)\);DM=EN(đã cm);\(\widehat{MDI}=\widehat{NEI}\)(cmt)
Do đó tam giác DMI=tam giác ENI(g.c.g)
=> DI=EI(cặp cạnh tương ứng)
=> MN đi qua trung điểm của DE(đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!