ΔAMB có: AM \(\le\) AB+BM.
ΔAMC có: AM \(\le\) AC+MC.
=> 2AM \(\le\) AB+BM+AC+MC=AB+AC+BC.
=> 2AM < AB+AC
=> AM < \(\dfrac{AB+AC}{2}\)
Kéo dài AM sao cho ta được doạn MK=AM
Khi đó \(\Delta AMB=\Delta KMC\left(c-g-c\right)\)
nên AB=CK(2 cạnh tương ứng)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có : AK<AC+CK\(\Leftrightarrow\)2AM<AB+AC
\(\Leftrightarrow\)AM<\(\dfrac{AB+AC}{2}\)(đpcm)
Kéo dài AM sao cho : đoạn MD=MA
xét \(\Delta MBA\) và \(\Delta MCD\) có :
MB=MC (gt)
gócM1= gócM2 (đối đỉnh )
MA=MD (cmt)
\(\Rightarrow\Delta MBA=\Delta MCD\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\)AB=CD
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có : AD bé hơn AC+CD
mà : AD=2.AM ; AB=CD
\(\Rightarrow\)2AM bé hơn AC+AB hay AM bé hơn \(\frac{AB+AC}{2}\) (đpcm)