cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. gọi D là trung điểm của AB. trên tia đối của DE lấy điểm F sao cho FD = DE
a) Chứng minh A là trung điểm của FC
b) lấy điểm P thuộc đoạn AC và Q thuộc đoạn BE sao cho AP = QE. chứng minh P, M, N thẳng hàng
a) Xét ΔAFD và ΔBED ta có:
AD = BD (GT)
\(\widehat{ADF}=\widehat{BDE}\left(đối-đỉnh\right)\)
DF = DE (GT)
=> ΔAFD = ΔBED (c - g - c)
=> AF = BE (2 cạnh tương ứng)
Và: \(\widehat{AFD\:}=\widehat{BED}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này lại là 2 góc so le trong
=> AF // BE (1)
Xét ΔAMC và ΔEMB ta có
AM = ME (GT)
\(\widehat{AMC}=\widehat{EMB}\left(đối-đỉnh\right)\)
CM = BM (GT)
=> ΔAMC = ΔEMB (c - g - c)
=> AC = BE (2 cạnh tương ứng)
Và: \(\widehat{ACM}=\widehat{MBE}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này lại là 2 góc so le trong
=> AC // BE (2)
Từ (1) và (2) => F, A, C thẳng hàng
Ta có:
+) F, A, C thẳng hàng (cmt)
+) AC = AF (= BE)
=> A là trung điểm của FC
b) Ta có: ΔAMC = ΔEMB (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{MEB}=\widehat{MAC}\) (2 góc tương ứng)
Hay: \(\widehat{MEQ}=\widehat{MAP}\)
Xét ΔMAP và ΔMEQ ta có:
MA = ME (GT)
\(\widehat{MEQ}=\widehat{MAP}\) (cmt)
AP = QE (GT)
=> ΔMAP = ΔMEQ (c - g - c)
\(\Rightarrow\widehat{AMP}=\widehat{QME}\) (2 góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{AMP}+\widehat{PME}=180^0\left(kề-bù\right)\)
Mà: \(\widehat{AMP}=\widehat{QME}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{QME}+\widehat{PME}=180^0=\widehat{QMP}\)
=> Q, M, P thẳng hàng