Lời giải:
a, Ta có: Do: Đường trung trực của AC cắt BC tại E (gt) => E\(\in\)Đường trung trực của AC
=> EA = EC
=> \(\Delta\)EAC cân tại E => ∠EAC = ∠ECA
Mà: ∠ECA = 20o => ∠EAC = 20o
Ta lại có: \(\Delta\)ABC có: ∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180o => ∠BAC = 180o - ∠ACB - ∠ABC
=> ∠BAC = 180o - 20o - 30o = 130o
Mà: ∠BAE + ∠EAF = 180o <=> ∠EAF = 180o - ∠BAE = 180o - (∠BAC - ∠EAC)
= 180o - (130o - 20o) = 70o
=> ∠EAF = 70o
b, I don't know
Bạn đã học công thức lượng giác sin=đối/huyền trong tam giác chưa?
Lời giải:
a)
Vì $E$ nằm trên đường trung trực của $AC$ nên \(EA=EC\Rightarrow \triangle EAC\) cân tại $E$
\(\Rightarrow \widehat{EAC}=\widehat{ECA}=20^0(1)\)
\(\widehat{CAF}=180^0-\widehat{BAC}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=30^0+20^0=50^0(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{EAF}=\widehat{EAC}+\widehat{CAF}=20^0+50^0=70^0\)
b) Gọi $I$ là giao của $EF$ với $AC$
Kẻ $FH\perp BC$ ($H\in BC$). $L$ là 1 điểm trên $BF$ sao cho $FH=FL$
Vì $FH=FL$ nên tam giác $FLH$ cân tại $F$
\(\widehat{LFH}=90^0-\widehat{B}=90^0-30^0=60^0\). Như vậy tam giác $FLH$ cân tại $F$ có 1 góc bằng $60^0$ nên là tam giác đều
\(\Rightarrow FH=FL=LH(3)\) và \(\widehat{LHF}=60^0\)
Suy ra \(\widehat{LHB}=90^0-\widehat{LHF}=90^0-60^0=30^0=\widehat{LBH}\) $\Rightarrow \triangle LBH$ cân tại $L$
\(\Rightarrow LH=LB(4)\)
Từ \((3);(4)\Rightarrow FH=LF=LB\Rightarrow FH=\frac{BF}{2}(*)\)
Dễ thấy $\triangle FAE=\triangle FCE$ (c.c.c) do tính đối xứng của trung trực
\(\Rightarrow \widehat{FCE}=\widehat{FAE}=70^0\) hay $\widehat{FCH}=70^0$
Xét tam giác vuông $CIE$ và $FHC$ có:
\(\widehat{CEI}=90^0-\widehat{ECI}=90^0-20^0=70^0=\widehat{FCE}=\widehat{FCH}\)
\(\Rightarrow \triangle CIE\sim \triangle FHC(g.g)\Rightarrow \frac{FH}{FC}=\frac{CI}{CE}(**)\)
Cũng từ 2 tam giác bằng nhau $\Rightarrow \wideha{AFE}=\widehat{CFE}$ nên $FE$ là phân giác $\widehat{BFC}$
Áp dụng tính chất đường phân giác, kết hợp với $(*); (**)$ có:
\(\frac{BE}{EC}=\frac{BF}{FC}=\frac{2FH}{FC}=\frac{2CI}{CE}=\frac{AC}{CE}\)
\(\Rightarrow BE=AC\) (đpcm)
Lời giải:
a)
Vì $E$ nằm trên đường trung trực của $AC$ nên \(EA=EC\Rightarrow \triangle EAC\) cân tại $E$
\(\Rightarrow \widehat{EAC}=\widehat{ECA}=20^0(1)\)
\(\widehat{CAF}=180^0-\widehat{BAC}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=30^0+20^0=50^0(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{EAF}=\widehat{EAC}+\widehat{CAF}=20^0+50^0=70^0\)
b) Gọi $I$ là giao của $EF$ với $AC$
Kẻ $FH\perp BC$ ($H\in BC$). $L$ là 1 điểm trên $BF$ sao cho $FH=FL$
Vì $FH=FL$ nên tam giác $FLH$ cân tại $F$
\(\widehat{LFH}=90^0-\widehat{B}=90^0-30^0=60^0\). Như vậy tam giác $FLH$ cân tại $F$ có 1 góc bằng $60^0$ nên là tam giác đều
\(\Rightarrow FH=FL=LH(3)\) và \(\widehat{LHF}=60^0\)
Suy ra \(\widehat{LHB}=90^0-\widehat{LHF}=90^0-60^0=30^0=\widehat{LBH}\) $\Rightarrow \triangle LBH$ cân tại $L$
\(\Rightarrow LH=LB(4)\)
Từ \((3);(4)\Rightarrow FH=LF=LB\Rightarrow FH=\frac{BF}{2}(*)\)
Dễ thấy $\triangle FAE=\triangle FCE$ (c.c.c) do tính đối xứng của trung trực
\(\Rightarrow \widehat{FCE}=\widehat{FAE}=70^0\) hay $\widehat{FCH}=70^0$
Xét tam giác vuông $CIE$ và $FHC$ có:
\(\widehat{CEI}=90^0-\widehat{ECI}=90^0-20^0=70^0=\widehat{FCE}=\widehat{FCH}\)
\(\Rightarrow \triangle CIE\sim \triangle FHC(g.g)\Rightarrow \frac{FH}{FC}=\frac{CI}{CE}(**)\)
Cũng từ 2 tam giác bằng nhau $\Rightarrow \wideha{AFE}=\widehat{CFE}$ nên $FE$ là phân giác $\widehat{BFC}$
Áp dụng tính chất đường phân giác, kết hợp với $(*); (**)$ có:
\(\frac{BE}{EC}=\frac{BF}{FC}=\frac{2FH}{FC}=\frac{2CI}{CE}=\frac{AC}{CE}\)
\(\Rightarrow BE=AC\) (đpcm)