Question

cho tam giác ABC có AB<AC, AM là trung tuyến (M thuộc BC), AD là phân giác(D thuộc BC). từ M kẻ đường thằng vuông góc vs tia AD tại H. đường thẳng này cắt AB và AC tại E,F

a) CMR: tam giác AEF cân

b) CM: BE=CF

c) CM: AE=AB+AC/2

Answer 1

Lời giải:

a, Ta có: Xét △AEH và △AFH có:

Chung AH (gt)

∠EAH = ∠FAH ( Vì: AH là tia phân giác ∠EAF )

∠AHE = ∠AHF ( = 90^o)

=> △AEH = △AFH (g.c.g)

=> AE = AF

=> △AEF cân tại A.

b, Ta có: Lấy điểm P ϵ Tia đối tia FM (Sao cho ME = MP)

Xét △MBE và △MCP có:

MB = MC ( Vì M là trung điểm BC)

ME = MP ( gt)

( 2 góc đối đỉnh)

=> △MBE = △MCP (c.g.c)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}BE=CP\\\text{∠MEB = ∠MPC}\end{matrix}\right.\)

Ta lại có: ∠MEB = ∠MFA ( Do: △AEF cân tại A)

Mà: ∠MFA = ∠CFP ( 2 góc đối đỉnh)

=> ∠MEB = ∠CFP . Mà: ∠MEB = ∠MPC ( cmt)

=> ∠CFP = ∠MPC

=> △CFP cân tại C

=> CF = CP . Mà: BE = CP (cmt) => BE = CF

c, Ta có:

AE = \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB + BE}\\\text{AC - CF ( Vì: AE = AF)}\end{matrix}\right.\)

=> 2.AE = AB + BE + AC - FC

= AB + AC - ( BE - FC). Mà: BE = FC ( cm câu b) => 2.AE = AB + AC - 0

=> AE = \(\frac{\text{AB + AC}}{2}\)

Vậy: a, △AEF cân tại A

b, BE = CF

c, AE = \(\frac{\text{AB + AC}}{2}\)

Chúc bạn học tốt!Tick cho mình nhé!