Cho tam giác ABC cân tại B góc C nhọn kẻ AD vuông góc với BC tại D cm góc với AB tại E Gọi I là giao điểm của AD và CE Chứng minh rằng
a , BD=BE b, BI là tia phân giác của tam giác ABC c, ED//AD d từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB TỨ C kẻ đường thẳng vung góc vói BC hai đường thẳng này cắt nhau tại K chứng minh rằng 3 điểm B,I,K thẳng hàng
a) Xét \(\Delta BEC,\Delta BDA\) có :
\(\widehat{BEC}=\widehat{BDA}\left(=90^o\right)\)
\(BA=BC\) (ΔABC cân tại B)
\(\widehat{B}:Chung\)
=> \(\Delta BEC=\Delta BDA\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(BD=BE\) (2 cạnh tương ứng)
b) Xét \(\Delta BIA,\Delta BIC\) có :
\(BA=BC\text{(ΔABC cân tại B)}\)
\(\widehat{BAI}=\widehat{BCI}\) (từ \(\Delta BEC=\Delta BDA\))
\(BI:Chung\)
=> \(\Delta BIA=\Delta BIC\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{ABI}=\widehat{CBI}\) (2 góc tương ứng)
Do đó : BI là tia phân giác của ΔABC
c) Xét \(\Delta BED\) cân tại B (BE = BD) có :
\(\widehat{BED}=\widehat{BEC}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ABC\) cân tại B(gt) có :
\(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{BED}=\widehat{BAC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
Do đó: \(ED//AD\left(đpcm\right)\)
d) Xét \(\Delta ABK,\Delta CBK\) có :
\(BA=BC\)(ΔABC cân tại B)
\(\widehat{BAK}=\widehat{BCK}\left(=90^o\right)\)
\(BK:Chung\)
=> \(\Delta ABK=\Delta CBK\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{ABK}=\widehat{CBK}\) (2 góc tương ứng)
=> BK là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (3)
Ta thấy : BI là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (chứng minh câu b) (4)
Từ (3) và (4) suy ra : B, I, K thẳng hàng
=> đpcm