a) Xét \(\Delta BNC\) và \(\Delta CMB\) có:
CN = BM (gt)
\(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)
BC chng
\(\Rightarrow\Delta BNC=\Delta CMB\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow BN=CM\)
b) Ta có: \(AB-BM=AC-CN\)
\(\Rightarrow AM=AN\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)
Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:
\(\widehat{AMN}+\widehat{ANM}+\widehat{BAC}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\left(1\right)\)
Áp dụng t/c tổng .....:
\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC
c) Lại có: \(180^o-\widehat{AMN}=180^o-\widehat{ANM}\)
\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\)
Xét \(\Delta BMN\) và \(\Delta CNM\) có:
BM = CN (gt)
\(\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\) (c/m trên)
MN chung
\(\Rightarrow\Delta BMN=\Delta CNM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BNM}=\widehat{CMN}\)
hay \(\widehat{INM}=\widehat{IMN}\)
\(\Rightarrow\Delta IMN\) cân tại I \(\Rightarrow IM=IN\)