cho tam giác ABC cân tại A. đường cao AH(H thuộc BC)
a) chứng minh tam giác AHB= tam giác AHC
b) từ H kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D. chứng minh tam giác ADH cân, từ đó suy ra AD=DH
c) gọi E là trung điểm AC, CD cắt AH tại G. chứng minh B, G, E thẳng hàng
d) chứng minh chu vi tam giác ABC> AH+3BG
a) Xét 2 tam giác vuông ΔAHB và ΔAHC có:
AH chung
AB = AC (GT)
⇒ Δ AHB = ΔAHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
b) Ta có : Δ AHB = Δ AHC (câu a)
⇒ \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) ( 2 góc tương ứng) (1)
Ta lại có: HD // AC ( GT )
⇒ \(\widehat{DHA}=\widehat{CAH}\) (2 góc so le trong) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{DHA}=\widehat{BAH}\)
Hay: \(\widehat{DHA}=\widehat{DAH}\)
=> ΔADH cân tại D
=> AD = DH
c) Ta có: ΔABH = ΔACH (câu a)
⇔ BH =HC (hai cạnh tương ứng)
⇒ AH là trung tuyến ΔABC tại A ( 3)
Ta có : DH //AC ⇒ ∠DHB = ∠ACB ( 2 góc đồng vị )
Mà ΔABC cân tại A (GT)
⇒ ∠ABC= ∠ACB
⇒ ∠DHB = ∠DBH
=> ΔDHB cân tại D
⇒ DB =DH
Lại có AD = DH (câu b) ⇒ DA=DB
⇒ CD là trung tuyến ΔABC (4)
Từ (3), (4) ta có: AC cắt CD tại G ⇒ G là trọng tâm Δ ABC
Mà CE =EA ⇒ BE là trung tuyến Δ ABC tại B
⇒ BE qua G ⇒ B,G,E thẳng hàng