a) Vì \(BM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)
=> M là trung điểm của \(AC.\)
=> \(AM=MC=\frac{1}{2}AC\) (tính chất trung điểm) (1).
+ Vì \(CN\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)
=> N là trung điểm của \(AB.\)
=> \(AN=NB=\frac{1}{2}AB\) (tính chất trung điểm) (2).
+ Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(AB=AC\) (3).
Từ (1), (2) và (3) => \(AM=AN;MC=NB.\)
b) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân).
Hay \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(BMC\) và \(CNB\) có:
\(MC=NB\left(cmt\right)\)
\(\widehat{MCB}=\widehat{NBC}\left(cmt\right)\)
Cạnh BC chung
=> \(\Delta BMC=\Delta CNB\left(c-g-c\right).\)
=> \(BM=CN\) (2 cạnh tương ứng).
c) Theo câu b) ta có \(\Delta BMC=\Delta CNB.\)
=> \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\) (2 góc tương ứng).
Hay \(\widehat{GBC}=\widehat{GCB}.\)
=> \(\Delta GBC\) cân tại \(G\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!