Question

Cho tam giác ABC cân tại A có AB < BC . Trên cạnh BC lấy hai ddieremr M và N sao cho BM = CN = AB . Chứng minh :

a ) Tam giác AMN cân.

b ) Tính số đo các góc của tam giác AMN khi góc BAC = 120 độ.

c ) Có khi nào tam giác AMN vuông cân được hay không?

Answer 1

a) Vì \(\Delta\)ABC cân tại A nên AB = AC và \(\widehat{ABC}\)= \(\widehat{ACB}\)

hay \(\widehat{ABN}\) = \(\widehat{ACM}\)

Ta có: BN + NM = BM

CM + NM = CN

mà BM = CN => BN = CM

Xét \(\Delta\)ABN và \(\Delta\)ACM có:

AB = AC (c/m trên)

\(\widehat{ABN}\) = \(\widehat{ACM}\) (c/m trên)

BN = CM (c/m trên)

=> \(\Delta\)ABN = \(\Delta\)ACM (c.g.c)

=> AN = AM (2 cạnh t/ư)

Do đó \(\Delta\)AMN cân tại A

b) Áp dụng tc tổng 3 góc trong 1 tg ta có:

\(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) = 180^o

=> 120^o + \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) = 180^o => \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) = 60^o => \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\) = 30^o Vì AB = BM => \(\Delta\)ABM cân tại B => \(\widehat{BAM}\) = \(\widehat{BMA}\) Áp dụng tc tổng 3 góc trong 1 tg ta có:

\(\widehat{BAM}\) + \(\widehat{BMA}\) + \(\widehat{ABC}\) = 180^o

=> \(\widehat{BAM}\) + \(\widehat{BMA}\) + 30^o = 180^o

=> \(\widehat{BAM}\) + \(\widehat{BMA}\) = 150^o

=> \(\widehat{BAM}\) = \(\widehat{BMA}\) = 75^o hay \(\widehat{AMN}\) = 75^o

mà \(\Delta\)AMN cân tại A => \(\widehat{ANM}\) = \(\widehat{AMN}\) = 75^o

Áp dụng tc tổng 3 góc trong 1 tg ta có:

\(\widehat{ANM}\) + \(\widehat{AMN}\) + \(\widehat{NAM}\) = 180^o

=> 75^o + 75^o + \(\widehat{NAM}\) = 180^o

=> \(\widehat{NAM}\) = 30^o

c) \(\Delta\)AMN ko thể là tgv cân đc.