a) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^o\) (kề bù)
\(\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^o\) (kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:
AB = AC (\(\Delta ABC\) cân )
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (c/m trên)
BD = CE (gt)
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACE\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{CAE}\)
hay \(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\)
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H và \(\Delta ACK\) vuông tại K có:
AB = AC
\(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\) (c/m trên)
\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACK\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow BH=CK\)
b) Đã c/m ở câu a.
c) Vì \(\Delta ABH=\Delta ACK\) (câu b)
\(\Rightarrow AH=AK\)
\(\Rightarrow\Delta AHK\) cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\)
Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:
\(\widehat{AHK}+\widehat{AKH}+\widehat{DAE}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\frac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\left(1\right)\)
Do \(\Delta ABD=\Delta ACE\) (câu a)
\(\Rightarrow AD=AE\)
\(\Rightarrow\Delta ADE\) cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)
Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:
\(\widehat{ADE}+\widehat{AED}+\widehat{DAE}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\frac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AHK}=\widehat{ADE}\)
mà 2 góc ở vị trí đồng vị nên HK // BC