Question

Cho hàm số y=x+3/x+1(C). Tìm m để đường thẳng d : y= 2x+m cắt (C) tại 2 điểm M,N sao cho độ dài MN nhỏ nhất.

Answer 1

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(2x+m-\left(x+\frac{3}{x}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x(m-1)-3=0\)

Để hai đths cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì pt trên phải có hai nghiệm phân biệt.

\(\Rightarrow \Delta=(m-1)^2+3>0\) (luôn đúng với mọi m)

Khi đó, gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của pt thì theo hệ thức Viete:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=1-m\\ x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Hai giao điểm là \(M(x_1,2x_1+m); N(x_2,2x_2+m)\)

\(MN=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(2x_1+m-2x_2-m)^2}=\sqrt{5(x_1-x_2)^2}\)

Có \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(m-1)^2+12\geq 12\)

\(\Rightarrow MN\geq \sqrt{60}\) hay \(MN_{\min}=\sqrt{60}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(m=1\)