Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:
\(x^2(m-1)+x(12-7m)+(10m-29)=0(1)\)
Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì PT $(1)$ phải có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 1\\ \Delta=(12-7m)^2-4(m-1)(10m-29)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 1\\ 9m^2-12m+28=(3m-2)^2+24>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\neq 1\)
Khi đó , áp dụng định lý Viete, nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của $(1)$ thì: \(x_1+x_2=\frac{7m-12}{m-1}\)
Hai giao điểm của hai ĐTHS là \(A(x_1,m(x_1-5)+10);B(x_2,m(x_2-5)+10)\)
\(M(5,10)\) là trung điểm của $AB$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x_1+x_2}{2}=5\\ \frac{y_1+y_2}{2}=\frac{m(x_1+x_2)-10m+20}{2}=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{7m-12}{m-1}=10\\ \frac{m(7m-12)}{m-1}=10m\end{matrix}\right.\)
Suy ra \(m=\frac{-2}{3}\) (thỏa mãn)