Cho góc xOy khác góc bẹt Oz là tia phân giác của góc xOy. Gọi M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C và vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh:
a)Điểm O thuộc đường trung trực của AB
b)OM là đường trung trực của AB
c)Điểm M thuộc đường trung trực của CD
a) Xét 2 tam giác vuông ΔOAM và ΔOBM ta có:
Cạnh huyền: OM chung
\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\left(GT\right)\)
=> ΔOAM = ΔOBM (c.h - g.n)
=> OA = OB (2 cạnh tương ứng)
=> Tam giác OAB cân tại O
Lại có: Oz là tia phân giác của tam giác OAB (GT)
=> Oz là đường trung trực của AB
=> Điểm O thuộc đường trung trực của AB
b/ Ta có: Oz là đường trung trực của AB (cmt)
Hay: OM là đường trung trực của AB
c) Ta có: ΔOAM = ΔOBM (cmt)
=> AM = BM (2 cạnh tương ứng)
Xét 2 tam giác vuông ΔAMD và ΔBMC ta có:
\(\widehat{MAD}=\widehat{MBC}\left(=90^0\right)\)
AM = BM (cmt)
\(\widehat{AMD}=\widehat{BMC}\) (đối đỉnh)
=> ΔAMD = ΔBMC (g - c - g)
=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}OA+AD=OD\\OB+BC=OC\end{matrix}\right.\)
Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}OA=OB\left(cmt\right)\\AD=BC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> OD = OC
=> Tam giác OCD cân tại O
Lại có Oz là phân giác của tam giác OCD
=> Oz là đường trung trực của CD
Hay: Mà M thuộc Oz
=> M thuộc đường trung trực của CD