Question

Cho góc xAy = 60 độ, vẽ phân giác Az của góc đó. Từ một điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C, Vẽ BH⊥ Ay, BK⊥Az, CM⊥ Ax. Chứng minh:

a) BH = \(\frac{1}{2}\)AC.

b) Tam giác KMC đều

Answer 1

a)Xét △BKA có:

\(\widehat{BKA}+\widehat{BAK}+\widehat{KBA}=180^0\)

\(\Rightarrow90^0+30^0+\widehat{KBA}=180^0\Rightarrow\widehat{KBA}=180^0-90^0-30^0=60^0\) (1)

Xét △BKC có:

\(\widehat{BKC}+\widehat{BCK}+\widehat{KBC}=180^0\)

\(\Rightarrow90^0+30^0+\widehat{KBC}=180^0\Rightarrow\widehat{KBC}=180^0-90^0-30^0=60^0\) (2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\widehat{KBA}=\widehat{KBC}\) Xét △BKA và △BKC có: \(\widehat{BKA}=\widehat{BKC}\left(=90^0\right)\)

BK chung

\(\widehat{KBA}=\widehat{KBC}\) (cmt)

⇒△BKA = △BKC (gcg)

⇒AK=CK=\(\frac{1}{2}AC\)

Xét △BAH vuông tại H và △ABK vuông tại K có:

AB chung

\(\widehat{BAH}=\widehat{ABK}\left(=60^0\right)\)

⇒△BAH =△ABK (cạnh huyền- góc nhọn)

⇒BH=AK mà AK=CK=\(\frac{1}{2}AC\)

⇒BH=\(\frac{1}{2}AC\)

b)Ta có:

\(\widehat{MBC}=180^0-\widehat{CBA}=180^0-\left(60^0+60^0\right)=180^0-120^0=60^0\)

Xét △CMB vuông tại M và △CKB vuông tại K có:

CB chung

\(\widehat{MBC}=\widehat{KBC}\left(=60^0\right)\)

⇒ △CMB =△CKB(cạnh huyền- góc nhọn)

⇒CM=CK⇒△KMC cân tại C có \(\widehat{MCK}=30^0+30^0=60^0\) nên △KMC đều (đpcm)