a) Kẻ BI // AC ( I \(\in\) EF )
\(\rightarrow\) \(\widehat{DBI}=\widehat{FCD}\)( hai góc so le trong )
Xét \(\Delta\) DBI và \(\Delta\) CDF có :
\(\widehat{BDI}=\widehat{FDC}\) ( hai góc đối đỉnh )
BD = DC ( D là trung điểm BC )
\(\widehat{DBI}=\widehat{FCD}\) ( cmt )
Do đó: \(\Delta\) DBI = \(\Delta\) CDF ( g.c.g )
Suy ra : BI = FC ( hai cạnh tương ứng ) (1')
Xét \(\Delta\) AOE và \(\Delta\) AOF có :
\(\widehat{AOE}=\widehat{AOF}=90^o\)
AO : cạnh chung
\(\widehat{EAO}=\widehat{FAO}\) ( AD là phân giác của góc A )
Do đó \(\Delta\) AOE = \(\Delta\) AOF ( g.c.g )
Suy ra :\(\widehat{AEO}=\widehat{AOF}\) ( hai góc tương ứng ) ( 1 )
Vì BI // FC ( cách dựng )
\(\rightarrow\) \(\widehat{AFO}=\widehat{BIE}\) ( hai góc đồng vị ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) : \(\Rightarrow\) \(\widehat{AEO}=\widehat{BIE}\)
\(\rightarrow\Delta\) BIE cân tại B
\(\rightarrow\) BE = BI ( 2' )
Từ ( 1' ) và ( 2' ) : \(\Rightarrow\) BE = FC ( đpcm )
b) \(\Delta\) AEF cân ở A ( cmt )
AE = AF
AE = AB + BE
AE = AC - FC
\(\rightarrow\) AB + BE = AC - FC
Mà BE = FC ( cmt )
\(\Rightarrow\) AB + FC = AC - FC
5 + FC = 7 - FC
FC + FC = 7 - 5
2FC = 2
FC = 1 ( cm )
Thay FC = 1 vào ( 2 )
AF = 7 - 1 = 6 ( cm )
FC = BE
\(\rightarrow\) BE = 1 ( cm )