Question

Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ AE là tia phấn giác của góc BAH, AF là tia phân giác của góc CAH. Chứng minh rằng AB + AC = BC + EF.

Answer 1

Ta có hình vẽ:

Ta có: BC = BH + HC; EF = EH + HF

=> BC + EF = BH + HC + EH + HF

Ta lại có: BF = BH + HF; EC = EH + HC

=> BF + EC = BH + HC + EH + HF

=> BC + EF = BF + EC

Ta có: góc EAC = 90⁰ - góc BAE

Xét tam giác AEH vuông tại H có:

góc AEC = 90⁰ - góc EAH

Mà theo giả thuyết: góc BAE = góc EAH (AE là pg góc BAH)

=> góc AEC = 90⁰ - góc BAE

Ta có: góc EAC = 90⁰ - góc BAE

ta có: góc AEC = 90⁰ - góc BAE

=> góc EAC = góc AEC

=> tam giác CAE cân tại C

=> AC = EC (1)

Chứng minh tương tự; ta được

AB = BF (2)

Từ (1) và (2)

=> AB + AC = BF + EC

Mà BC + EF = BF + EC

Nên AB + AC = BC + EF (t/c bắc cầu)

---> đpcm.