Question

Cho biểu thức: M = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁸⁰. Chứng tỏ rằng:

a. M chia hết cho 6

b. M không phải là số chính phương

Answer 1

a) M = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁸⁰ (có 80 số hạng; 80 chia hết cho 2)

M = (5 + 5²) + (5³ + 5⁴) + ... + (5⁷⁹ + 5⁸⁰)

M = 5.(1 + 5) + 5³.(1 + 5) + ... + 5⁷⁹.(1 + 5)

M = 5.6 + 5³.6 + ... + 5⁷⁹.6

M = 6.(5 + 5³ + ... + 5⁷⁹) chia hết cho 6

Chứng tỏ M chia hết cho 6

b) Ta thấy các lũy thừa của 5 từ 5² trở đi đều chia hết cho 5 và 25

=> 5²; 5³; ...; 5⁸⁰ đều chia hết cho 5 và 25

Mà 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25

=> M chia hết cho 25 nhưng không chia hết cho 25, không phải số chính phương

Chứng tỏ M không phải số chính phương

Answer 2

a. Ta có: M = 5 + 5² + 5³ + ...+ 5⁸⁰

= 5 + 5² + 5⁵ + ... + 5^{80 =} (5 + 5²) + (5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶) + ... + (5⁷⁹ + 5⁸⁰)

= (5 + 5²) + 5² . (5 + 5²) + ... + 5⁷⁸(5 + 5²)

= 30 + 30 . 5² + 30 . 5⁴ + ... + 30 . 5⁷⁸ = 30(1 + 5² + 5⁴ + ... + 5⁷⁸)  chia hết cho 30

b. Ta thấy : M = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁸⁰ cchia hết cho số nguyên tố 5

Mặt khác, do: 5² + 5³ + ... 5⁸⁰ chia hết cho 5² (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 5²)

=> M = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁸⁰  không chia hết cho 5² (do 5 không chia hết cho 5²)

=> M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 5²

=> M không phải số chính phương