a) \(A=\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}\)
\(\Rightarrow A=\frac{\left(a^3+a^2\right)+\left(a^2-1\right)}{\left(a^3+a^2\right)+\left(a^2+a\right)+\left(a+1\right)}\)
\(\Rightarrow A=\frac{a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)\left(a-1\right)}{a^2\left(a+1\right)+a\left(a+1\right)+a\left(a+1\right)}\)
\(\Rightarrow A=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)
\(\Rightarrow A=\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)
Vậy biểu thức \(A\) khi được rút gọn là \(\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)
b) Gọi \(ƯCLN\left(a^2+a-1;a^2+a+1\right)=d\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^2+a-1⋮d\\a^2+a+1⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(a^2+a+1\right)-\left(a^2+a-1\right)=2⋮d\)
\(\Rightarrow d=\left\{\pm1;\pm2\right\}\left(1\right)\)
Lại có:
Nếu \(a\) là số lẻ thì:
\(\left\{\begin{matrix}a^2+a+1\\a^2+a-1\end{matrix}\right.\) là số lẻ
Nếu \(a\) là số chẵn thì:
\(\left\{\begin{matrix}a^2+a+1\\a^2+a-1\end{matrix}\right.\) là số lẻ
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^2+a+1\\a^2+a-1\end{matrix}\right.\) là số lẻ \(\forall a\) hay hai số này không có ước chẵn \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)
\(\Rightarrow d=\left\{\pm1\right\}\)
Vậy nếu \(a\) là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu \(a\), là một phân số tối giản (Đpcm)
chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
