Question

Cho \(a+b+c=a^2+b^2+c^2=1\) và \(x:y:z=a:b:c\)

Chứng minh \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)

Answer 1

Giải:

Ta có: \(x:y:z=a:b:c\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=\dfrac{x+y+z}{1}=x+y+z.\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2_{\left(1\right)}.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

\(\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{1}=x^2+y^2+z^2_{\left(2\right)}.\)

Từ \(_{\left(1\right)}\) và \(_{\left(2\right)}\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\left(đpcm\right).\)