Cho ∆ABC cân tại A (góc A < 90độ); các đường cao BD; CE (D ∈AC; E ∈AB) cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: ∆ ABD = ∆ACE
b) Tam giác BHC là tam giác gì, vì sao?
c) So sánh đoạn HB và HD?
d) Trên tia đối của tia EH lấy điểm N sao cho NH < HC; Trên tia đối của tia DH lấy điểm M sao cho MH = NH. Chứng minh các đường thẳng BN; AH; CM đồng quy.
a) Xét ΔABD và ΔACE có:
∠ADB = ∠AEC = 900 (gt)
BA = AC (gt)
∠BAC (chung)
⇒ ΔABD =ΔACE (cạnh huyền – góc nhọn)
b) Có ΔABD =ΔACE ⇒ ∠ABD = ∠ACE (hai góc tương ứng)
mặt khác: ∠ABC = ∠ACB (D ABC cân tại A )
⇒ ABC – ABD =ACB – ACE ⇒ HBC = HCB
⇒ ΔBHC là tam giác cân tại H
c) Có ΔHDC vuông tại D nên HD < HC
mà HB = HC (ΔBHC cân tại H)
⇒ HD < HB
d) Gọi I là giao điểm của BN và CM
* Xét ΔBNH và ΔCMH có:
BH = CH (ΔBHC cân tại H)
∠BHN = ∠CHM (đối đỉnh)
NH = HM (gt)
ΔBNH = ΔCMH (c.g.c) ⇒ ∠HBN = ∠HCM
* Lại có: ∠HBC = ∠HCB (Chứng minh câu b)
⇒ ∠HBC + ∠HBN = ∠HCB + ∠HCM ⇒ ∠IBC = ∠ICB
⇒ IBC cân tại I ⇒ IB = IC (1)
Mặt khác ta có: AB = AC (D ABC cân tại A) (2)
HB = HC (D HBC cân tại H) (3)
* Từ (1); (2) và (3)
=> 3 điểm I; A; H cùng nằm trên đường trung trực của BC
⇒ I; A; H thẳng hàng
⇒ các đường thẳng BN; AH; CM đồng quy