cho 5 số tự nhiên không nhất thiết phân biệt. biết rằng khi tính tổng của từng cặp hai số trong 5 số này ta được giá trị...

Cho 69 số nguyên dương phân biệt, trong đó mỗi số có giá trị không vượt quá 100. CMR có thể chọn ra 4 số phân biệt a,b,c,d sao cho $a^2+b^2+c^2+d^2$ là tổng của 3 số chính phương khác 0

Xem chi tiết

Lớp 7 Toán Violympic toán 7

TH

tran trunh hieu

29 tháng 10 2016 lúc 17:08

Hãy viết số thích hợp vào chỗ … (Chú ý:Nếu đáp số là số thập phân thì phải viết là số thập phân gọn nhất và dùng dấu (,) trong bàn phím để đánh dấu phẩy trong số thập phân) Câu 1:Biết rằng và . Giá trị của (Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất ) Câu 2:Hai đường thẳng song song, một cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo ra cặp góc trong cùng phía hơn kém nhau . Số đo hai góc lần lượt là (tính theo độ, nhập kết quả theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu ;) Câu 3:Tập hợp các giá...

Đọc tiếp

Hãy viết số thích hợp vào chỗ … (Chú ý:Nếu đáp số là số thập phân thì phải viết là số thập phân gọn nhất và dùng dấu (,) trong bàn phím để đánh dấu phẩy trong số thập phân) Câu 1:
Biết rằng

và

. Giá trị của

(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất ) Câu 2:
Hai đường thẳng song song, một cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo ra cặp góc trong cùng phía hơn kém nhau

. Số đo hai góc lần lượt là (tính theo độ, nhập kết quả theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu ";") Câu 3:
Tập hợp các giá trị

thỏa mãn:

là {}
(Nhập kết quả theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu ";") Câu 4:
Biết rằng

và

. Giá trị của

(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất) Câu 5:
Biết rằng

và

. Giá trị của

là
(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất ) Câu 6:
Số giá trị

thỏa mãn

là
Câu 7:
Số giá trị

thỏa mãn

là
Câu 8:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là
(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất) Câu 9:
Cho

và

. Giá trị của

(nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất) Câu 10:
Tập hợp các giá trị

nguyên để biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất là {}
(Nhập kết quả theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu ";")

Xem chi tiết

Lớp 7 Toán Violympic toán 7

PA

phạm lê quỳnh anh

18 tháng 10 2021 lúc 6:07

DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.Bài 1. Tính A 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)Hướng dẫn giảiCách 1:Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:Gọi a1 1.2 → 3a1 1.2.3 → 3a1 1.2.3 - 0.1.2a2 2.3 → 3a2 2.3.3 → 3a2 2.3.4 - 1.2.3a3 3.4 → 3a3 3.3.4 → 3a3 3.4.5 - 2.3.4…………………..an-1 (n - 1)n → 3an-1 3(n - 1)n → 3an-1 (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)nan n(n + 1) → 3an 3n(n + 1) → 3an n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)Cộng từng vế của các đẳng thứ...

Đọc tiếp

DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.

Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:

Gọi a₁ = 1.2 → 3a₁ = 1.2.3 → 3a₁= 1.2.3 - 0.1.2
a₂ = 2.3 → 3a₂ = 2.3.3 → 3a₂= 2.3.4 - 1.2.3
a₃ = 3.4 → 3a₃ = 3.3.4 → 3a₃ = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
a_n-1 = (n - 1)n → 3a_n-1 =3(n - 1)n → 3a_n-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
a_n = n(n + 1) → 3a_n = 3n(n + 1) → 3a_n = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:

3(a₁ + a₂ + … + a_n) = n(n + 1)(n + 2)

3(a₁ + a₂ + ... + a_n) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ $A = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}$

Cách 2: Ta có

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3

3A = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)]

3A = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

3A = n(n + 1)(n + 2)

$\Rightarrow A = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}$

* Tổng quát hoá ta có:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …

Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)

Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:

4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ... + (n - 1)n(n + 1).4

4B = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)]

4B = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)

$\Rightarrow B = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{4}$

Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)

Hướng dẫn giải

Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)

2.5 = 2.(2 + 3)

3.6 = 3.(3 + 3)

4.7 = 4.(4 + 3)

…….

n(n + 3) = n(n + 1) + 2n

Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n

C = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n

C = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n)

⇒ 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)

3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)

3C = n(n + 1)(n + 2) + $\frac{3\left(2n\ +\ 2\right)n}{2}$

⇒ C = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ + $\frac{3\left(2n\ +\ 2\right)n}{2}$ = $\frac{n(n+1)(n+5)}{3}$

Bài 4: Tính D = 1²+ 2² + 3² + .... + n²

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này là tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1:

Ta có:

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ n(n + 1)

A = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + .... + n.(n + 1)

A = 1² + 1.1 + 2² + .1 + 3² + 3.1 + ... + n² + n.1

A = (1² + 2² + 3² + .... + n²) + (1 + 2 + 3 + ... + n)

Mặt khác theo bài tập 1 ta có:

$A = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}$ và 1 + 2 + 3 + .... + n =

⇒D = 1² + 2² + 3² + .... + n² =

Bài 5: Tính E = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³

Hướng dẫn giải

Tương tự bài toán ở trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E:

B = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + ... + (n - 1)n(n + 1)

B = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 -1).3.(3 +1) + ....+ (n - 1).n.(n + 1)

B = (2³ - 2) + (3³ - 3) + .... + (n³ - n)

B = (2³ + 3³ + .... +n³) - (2 + 3 + ... + n)

B = (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³) - (1 + 2 + 3 + ... + n)

B = (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³) - $\frac{n(n + 1)}{2}$

⇒ 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = B + $\frac{n(n + 1)}{2}$

Mà $B = \frac{{\left( {n - 1} \right).n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{4}$

⇒ E = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = $\frac{{\left( {n - 1} \right).n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{4}$ + $\frac{n(n + 1)}{2}$

Xem chi tiết

Lớp 7 Toán Violympic toán 7

DD

Diễm Dương

28 tháng 10 2016 lúc 19:59

Câu 1:Hai đường thẳng song song, một cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo ra cặp góc trong cùng phía hơn kém nhau . Số đo hai góc lần lượt là (tính theo độ, nhập kết quả theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu ;) Câu 2:Số các số tự nhiên thỏa mãn là Câu 3:Giá trị thỏa mãn là Câu 4:Biết rằng và . Giá trị của (Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất) Câu 5:Cho 2 số thỏa mãn . Giá trị (Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất ) Câu 6:Biết rằng và . Giá trị của là...

Đọc tiếp

Câu 1:
Hai đường thẳng song song, một cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo ra cặp góc trong cùng phía hơn kém nhau

. Số đo hai góc lần lượt là (tính theo độ, nhập kết quả theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu ";") Câu 2:
Số các số tự nhiên

thỏa mãn

là Câu 3:
Giá trị

thỏa mãn

là Câu 4:
Biết rằng

và

. Giá trị của

(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất) Câu 5:
Cho 2 số

thỏa mãn

. Giá trị

(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất ) Câu 6:
Biết rằng

và

. Giá trị của

là
(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất ) Câu 7:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là
(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất) Câu 8:
Số giá trị

thỏa mãn

là
Câu 9:
Cho 2 số

thỏa mãn

. Giá trị

(nhập kết quả dưới dạng số thập phân gọn nhất ) Câu 10:
Số tự nhiên

thỏa mãn

là

Xem chi tiết

Lớp 7 Toán Violympic toán 7

TG

Tomioka Giyuu

21 tháng 5 2021 lúc 13:12

Trong một dãy tăng gồm 10 số nguyên liên tiếp, tổng của 5 số đầu tiên là 560. Hỏi tổng của 5 số tiếp theo trong dãy đó là bao nhiêu?a. 575b. 565c. 585d. 580Nếu x và y là hai số nguyên tố, thì giá trị nào dưới đây không thể là tổng của x và y?a. 16b. 23c. 13d. 9Tính tổng : S 1 1.3 + 1 3.5 + 1 5.7 + . . . + 1 99.101a. 52/9901b. 50/101c. 51/990d. 4900/9999

Đọc tiếp

Trong một dãy tăng gồm 10 số nguyên liên tiếp, tổng của 5 số đầu tiên là 560. Hỏi tổng của 5 số tiếp theo trong dãy đó là bao nhiêu?

a. 575

b. 565

c. 585

d. 580

Nếu x và y là hai số nguyên tố, thì giá trị nào dưới đây không thể là tổng của x và y?

a. 16

b. 23

c. 13

d. 9

Tính tổng : $LaTeX:S = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + ... + \frac{1}{99.101}$ S = 1 1.3 + 1 3.5 + 1 5.7 + . . . + 1 99.101

a. 52/9901

b. 50/101

c. 51/990

d. 4900/9999

Xem chi tiết

Lớp 7 Toán Violympic toán 7

OD

Ôi cuộc đời

12 tháng 12 2016 lúc 21:54

Câu 1:Biết rằng và . Giá trị của (Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất ) Câu 2:Biết rằng và . Giá trị của (Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất) Câu 3:Hai đường thẳng song song, một cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo ra cặp góc trong cùng phía hơn kém nhau . Số đo hai góc lần lượt là (tính theo độ, nhập kết quả theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu ;) Câu 4:Tập hợp các giá trị thỏa mãn: là {}(Nhập kết quả theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu ;) Câ...

Đọc tiếp

Câu 1:
Biết rằng

và

. Giá trị của

(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất ) Câu 2:
Biết rằng

và

. Giá trị của

(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất) Câu 3:
Hai đường thẳng song song, một cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo ra cặp góc trong cùng phía hơn kém nhau

. Số đo hai góc lần lượt là (tính theo độ, nhập kết quả theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu ";") Câu 4:
Tập hợp các giá trị

thỏa mãn:

là {}
(Nhập kết quả theo giá trị tăng dần, ngăn cách nhau bởi dấu ";") Câu 5:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là
(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất) Câu 6:
Biết rằng

và

. Giá trị của

là
(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất ) Câu 7:
Cho 2 số

thỏa mãn

. Giá trị

(Nhập kết quả dưới dạng số thập phân đơn giản nhất ) Câu 8:
Số giá trị

thỏa mãn

là
Câu 9:
Số tự nhiên

thỏa mãn

là

Câu 10:
Cho 2 số

thỏa mãn

. Giá trị

(nhập kết quả dưới dạng số thập phân gọn nhất )

Xem chi tiết

Lớp 7 Toán Violympic toán 7

BT

BÍCH THẢO

4 tháng 9 2023 lúc 20:05

Bài toán 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.

Bài toán 9. Cho hai số tự nhiên a và b (a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.

Bài toán 10. Chứng minh rằng: A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n là số chính phương (n lẻ).

Xem chi tiết

Lớp 7 Toán Violympic toán 7

Violympic toán 7

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Violympic toán 7

Câu hỏi

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)