Question

Cho 3 số x , y ,z :

\(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}\)

Hãy tính giá trị của biểu thức :

\(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)

Answer 1

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}=\frac{\left(y+z-x\right)+\left(z+x-y\right)+\left(x+y-z\right)}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}\) (1)

Xét 1 trường hợp:

TH₁: x + y + z = 0 \(\Rightarrow\begin{cases}x+y=-z\\y+z=-x\\z+x=-y\end{cases}\)

Ta có: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{z+x}{x}=\frac{-z}{y}.\frac{-x}{z}.\frac{-y}{x}=-1\)

TH₂: \(x+y+z\ne0\)

Từ (1) \(\Rightarrow\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

\(\Rightarrow\begin{cases}y+z-x=x\\z+x-y=y\\x+y-z=z\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}y+z=2x\\z+x=2y\\x+y=2z\end{cases}\)

Ta có: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{x+z}{x}=\frac{2z}{y}.\frac{2x}{z}.\frac{2y}{x}=2^3=8\)