Question

Bài 1: Cho 5 số tự nhiên a, b, c, d, e. Biết a^b = b^c = c^d = d^e = e^a. Chứng minh 5 số đó bằng nhau.

Answer 1

Giả sử \(2\) trong \(5\) số tự nhiên đó không bằng nhau. \(a < b (1 )\)

Trong \(2\) lũy thừa bằng nhau thì lũy thừa có cơ số nhỏ hơn sẽ có số mũ lớn hơn và ngược lại.

Vì \(a^b=b^c\) mà \(a < b \)

\(\Rightarrow c< b\)

Vì \(b^c=c^d\) mà \(c< b\)

\(\Rightarrow c< d\)

Vì \(c^d=d^e\) mà \(c< d\)

\(\Rightarrow e< d\)

Vì \(d^e=e^a\) mà \(e< d\)

\(\Rightarrow a< e\)

Vì \(e^a=a^b\) mà \(a< e\)

\(\Rightarrow a>b\) \(( 2 ) \)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra: Điều giả sử sai.

Vậy \(a=b=c=d=e\left(đpcm\right)\) .