2.
Xét hàm \(f\left(x\right)=x^4+2x^3+mx+2\)
\(f'\left(x\right)=4x^3+6x^2+m\)
\(y=\left|f\left(x\right)\right|=\sqrt{f^2\left(x\right)}\Rightarrow y'=\frac{f'\left(x\right).f\left(x\right)}{\sqrt{f^2\left(x\right)}}\)
Để hàm đồng biến trên khoảng đã cho
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x\right).f\left(x\right)\ge0\\f\left(x\right)\ne0\end{matrix}\right.\) \(\forall x>-1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x\right)\ge0\\f\left(-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x^3+6x^2+m\ge0\left(1\right)\\1-m\ge0\end{matrix}\right.\) \(\forall x>-1\)
Xét (1) \(\Leftrightarrow m\ge g\left(x\right)=-4x^3-6x^2\Rightarrow m\ge\max\limits_{x>-1}g\left(x\right)\)
\(g'\left(x\right)=-12x^2-12x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)
Từ BBT ta thấy \(\max\limits_{x>-1}g\left(x\right)=g\left(0\right)=0\)
\(\Rightarrow m\ge0\)
Vậy \(0\le m\le1\)
1.
- Với \(\left[{}\begin{matrix}x< -1\\x>\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=2x^2-3x-5\Rightarrow y'=4x-3\)
\(y'< 0\) với \(x< -1\) ; \(y'>0\) với \(x>\frac{5}{2}\)
- Với \(-1< x< \frac{5}{2}\Rightarrow y=-2x^2+3x+5\Rightarrow y'=-4x+3=0\Rightarrow x=\frac{3}{4}\)
- Tại \(x=-1\):
\(y'\left(-1^-\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}\left(4x-3\right)=-7\)
\(y'\left(-1^+\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}\left(-4x+3\right)=-1\ne y'\left(-1^-\right)\)
\(\Rightarrow\) Tại \(x=-1\) hàm liên tục nhưng ko có đạo hàm nên \(x=-1\) là 1 cực trị
Tương tự ta cũng có \(x=\frac{5}{2}\) là 1 cực trị
BBT:
Từ BBT ta thấy hàm đồng biến trên \(\left(-1;\frac{4}{3}\right)\) và \(\left(\frac{5}{2};+\infty\right)\)
