Question

1.cho a,b nguyên dương t/m a>b và a-b=5b^2-4a^2. CMR a-b là số chính phương.

Answer 1

Lời giải:

Bài này có lẽ tầm lớp 8,9 chứ không phải lớp 7.

$a-b=5b^2-4a^2=b^2-4(a^2-b^2)$

$\Leftrightarrow a-b+4(a^2-b^2)=b^2$

$\Leftrightarrow (a-b)(1+4a+4b)=b^2$

$1+4a+4b, a-b$ đều là số nguyên dương.

Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $a-b, 1+4a+4b$

Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a-b\vdots d\\ 1+4a+4b\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4a-4b\vdots d\\ 1+4a+4b\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 1+8b\vdots d(1)\)

Mặt khác, vì $a-b\vdots d, 1+4a+4b\vdots d\Rightarrow b^2=(a-b)(1+4a+4b)\vdots d^2$

$\Rightarrow b\vdots d(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow 1\vdots d$

Vậy $(a-b, 1+4a+4b)=1$. Mà tích của chúng là scp nên bản thân mỗi số đó cũng là scp.

Vậy $a-b$ là scp.