Xác định a, b', c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn :
a) \(5x^2-6x-1=0\)
b) \(-3x^2+14x-8=0\)
c) \(-7x^2+4x=3\)
d) \(9x^2+6x+1=0\)
Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau :
a) \(x^2+2+2\sqrt{2}\) và \(2\left(1+\sqrt{2}\right)x\)
b) \(\sqrt{3}x^2+2x-1\) và \(2\sqrt{3}x+3\)
c) \(-2\sqrt{2}x-1\) và \(\sqrt{2}x^2+2x+3\)
d) \(x^2-2\sqrt{3}x-\sqrt{3}\) và \(2x^2+2x+\sqrt{3}\)
e) \(\sqrt{3}x^2+2\sqrt{5}x-3\sqrt{3}\) và \(-x^2-2\sqrt{3}x+2\sqrt{5}+1\)
Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi:
a) \(x^2=12x+288;\) b) \(\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{7}{12}x=19.\)
a) x2 = 12x + 288 ⇔ x2 - 12x + 288 = 0
∆’ = (-6)2 – 1 . (-288) = 36 + 288 = 324
√∆’ = 18
x1 = 6 + 18 = 24, x2 = 6 – 18 = -12
b) x2 +
x = 19
⇔ x2 + 7x – 228 = 0, ∆ = 49 – 4 . (-228) = 49 + 912 = 961 = 312
x1 = = 12, x2 =
= -19
Cho phương trình (ẩn x) : x2 - 2(m-1)x + m2 = 0.
a) Tính \(\Delta'.\)
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm?
a) x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0 có a = 1, b = -2(m - 1), b' = -(m - 1), c = m2
∆' = [-(m - 1)]2 – m2 = m2 – 2m + 1 – m2 = 1 – 2m
b) Ta có ∆’ = 1 – 2m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 1 – 2m > 0 hay khi m < \(\dfrac{1}{2}\)
Phương trình vô nghiệm khi m > \(\dfrac{1}{2}\)
Phương trình có nghiệm kép khi m = \(\dfrac{1}{2}\).
Trả lời bởi Quốc ĐạtKhông giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?
a) 15x2 + 4x - 2005 = 0; b) \(-\dfrac{19}{5}x^2-\sqrt{7}x+1890=0.\)
Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 có a và c trái dấu thì ac < 0, suy ra –ac > 0; hơn nữa b2 ≥ 0. Do đó ∆ = b2 – 4ac > 0. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng:
a) Phương trình 15x2 + 4x – 2005 = 0 có a = 15, c = -2005 trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình x2 - √7x + 1890 = 0 có a =
và c = 1890 trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Giải các phương trình:
a) \(25x^2-16=0;\) b) \(2x^2+3=0;\)
c) \(4,2x^2+5,46x=0;\) d) \(4x^2-2\sqrt{3}x=1-\sqrt{3}.\)
a) 25x2 – 16 = 0 ⇔ 25x2 = 16 ⇔ x2 =
⇔ x = ± = ±
b) 2x2 + 3 = 0: Phương trình vô nghiệm vì vế trái là 2x2 + 3 ≥ 3 còn vế phải bằng 0.
c) 4,2x2 + 5,46x = 0 ⇔ 2x(2,1x + 2,73) = 0
=> x = 0
Hoặc 2,1x + 2,73 = 0 => x = -1,3
d) 4x2 - 2√3x = 1 - √3 ⇔ 4x2 - 2√3x – 1 + √3 = 0
Có a = 4, b = -2√3, b’ = -√3, c = -1 + √3
∆’ = (-√3)2 – 4 . (-1 + √3) = 3 + 4 - 4√3 = (2 - √3)2, √∆’ = 2 - √3
x1 = =
, x2 =
=
Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + 2b'x + c = 0 và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả tới chữ số thập phân thứ hai):
a) \(3x^2-2x=x^2+3;\) b) \(\left(2x-\sqrt{2}\right)^2-1=\left(x+1\right)\left(x-1\right);\)
c) \(3x^2+3=2\left(x+1\right);\) d) \(0,5x\left(x+1\right)=\left(x-1\right)^2.\)
Bài giải:
a) 3x2 – 2x = x2 + 3 ⇔ 2x2 – 2x - 3 = 0.
b’ = -1, ∆’ = (-1)2 – 2 . (-3) = 7
x1 = ≈ 1, 82; x2 =
≈ -0,82
b) (2x - √2)2 – 1 = (x + 1)(x – 1) ⇔ 3x2 - 4√2 . x + 2 = 0 . b’ = -2√2
∆’ = (-2√2)2 – 3 . 2 = 2
x1 = = √2 ≈ 1,41; x2 =
=
≈ 0,47.
c) 3x2 + 3 = 2(x + 1) ⇔ 3x2 – 2x + 1 = 0.
b’ = -1; ∆’ = (-1)2 – 3 . 1 = -2 < 0
Phương trình vô nghiệm.
d) 0,5x(x + 1) = (x – 1)2 ⇔ 0,5x2 – 2,5x + 1 = 0
⇔ x2 – 5x + 2 = 0, b’ = -2,5; ∆’ = (-2,5)2 – 1 . 2 = 4,25
x1 = 2,5 + √4,25 ≈ 4,56, x2 = 2,5 - √4,25 ≈ 0,44
(Rõ ràng trong trường hợp này dung công thức nghiệm thu gọn cũng không đơn giản hơn)
Xác định a', b', c' rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:
a) \(4x^2+4x+1=0;\) b) \(13852x^2-14x+1=0;\)
c) \(5x^2-6x+1=0;\) d) \(-3x^2+4\sqrt{6}x+4=0.\)
a) 4x2 + 4x + 1 = 0 có a = 4, b = 4, b' = 2, c = 1
∆' = 22 – 4 . 1 = 0: Phương trình có nghiệm kép
x1 = x2 = =
b) 13852x2 – 14x + 1 = 0 có a = 13852, b = -14, b’ = -7, c = 1
∆’ = (-7)2 – 13852 . 1 = 49 – 13852 < 0
Phương trình vô nghiệm.
c) 5x2 – 6x + 1 = 0 có a = 5, b = -6, b’ = -3, c = 1
∆’ = (-3)2 – 5 . 1 = 4, √∆’ = 2
x1 = = 1; x2 =
=
d) -3x2 + 4√6x + 4 = 0 có a = -3, b = 4√6, b’ = 2√6, c = 4.
∆’ = (2√6)2 – (-3) . 4 = 24 + 12 = 36, √∆’ = 6
X1 = = ;
, x2 =
=
Đố: Đố em biết vì sao khi a > 0 và phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì ax2 + bx + c > 0 với mọi giá trị của x?
Khi a > 0 và phương trình vô nghiệm thì b2 – 4ac < 0.
Do đó: > 0
Suy ra: ax2 + bx + c = a > 0, với mọi x.
Rada của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một oto trong 10 phút, phát hiện rằng vẫn tốc v của oto thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức : \(x=3t^2-30t+135,\)
(t tính bằng phút, v tính bằng km/h).
a) Tính vận tốc của oto khi t = 5 phút.
b) Tính giá trị của t khi vận tốc oto bằng 120km/h (làm tròn kết quả tới chữ số thập phân thứ hai).
a) Khi t = 5 (phút) thì v = 3 . 52 – 30 . 5 + 135 = 60 (km/h)
b) Khi v = 120 (km/h), để tìm t ta giải phương trình 120 = 3t2 – 30t + 135
Hay t2 – 10t + 5 = 0. Có a = 1, b = -10, b’ = -5, c = 5.
∆’ = 52 – 5 = 25 – 5 = 20, √∆’ = 2√5
t1 = 5 + 2√5 ≈ 9,47, t2 = 5 - 2√5 ≈ 0,53
Vì rađa chỉ theo dõi trong 10 phút nên 0 < t < 10 nên cả hai giá trị của t đều thích hợp. Vậy t1 ≈ 9,47 (phút), t2 ≈ 0,53 (phút).
Trả lời bởi Quốc Đạt
Trả lời bởi Nguyen Thuy Hoa