Bài 2. Tứ giác nội tiếp

Các tứ giác trong Hình 1 đều có các đỉnh nằm trên đường tròn.

Ta có thể vẽ tứ giác nội tiếp đường tròn và một tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Chẳng hạn:

• Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

• Tứ giác A'B'C'D' không nội tiếp đường tròn (I).

Tứ giác trong hình hoa văn trang trí mặt lưng của chiếc ghế với đường tròn trong Hình 3 là tứ giác có các đỉnh đều nằm trên đường tròn.

a) Góc \(\widehat {DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung BD nhỏ.

Góc \(\widehat {DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung BD lớn.

b) - Góc \(\widehat {DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung BD nhỏ.

Suy ra \(\widehat {DAB} = \frac{1}{2}\) số đo cung BD nhỏ.

- Góc \(\widehat {DCB}\) là góc nội tiếp chắn cung BD lớn.

Suy ra \(\widehat {DCB} = \frac{1}{2}\) số đo cung BD lớn.

Ta có \(\widehat {DAB} + \widehat {DCB} = \frac{1}{2}\) (số đo cung BD nhỏ + số đo cung BD lớn)

= \(\frac{1}{2}\).360^o = 180^o.

c) Tổng số đo của hai góc \(\widehat {DAB}\) và \(\widehat {DCB}\) bằng 180^o.

d) Tổng số đo của hai góc đối diện còn lại của tứ giác ABCD là 180^o 

(vì 360^o – 180^o = 180^o).

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Do đó \(\widehat A + \widehat C = {180^o}\) suy ra \(\widehat A = {180^o} - \widehat C = {180^o} - {93^o} = {87^o}\).

\(\widehat B + \widehat D = {180^o}\) suy ra \(\widehat D = {180^o} - \widehat B = {180^o} - {57^o} = {123^o}\).

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Do đó \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = {180^o}\) suy ra \(\widehat {ADC} = {180^o} - \widehat {ABC} = {180^o} - {70^o} = {110^o}\).

Mà \(\widehat {ADO} + \widehat {OCD} = \widehat {ADC}\) suy ra \(\widehat {ADO} = {110^o} - {50^o} = {60^o}\).

Vì OA = OD = R nên tam giác OAD cân tại O

 Suy ra \(\widehat {OAD} = \widehat {ADO} = {60^o}\) (tính chất tam giác cân)

Vậy tam giác OAD đều suy ra \(\widehat {AOD} = {60^o}\).

a) Độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD là bằng nhau.

Nhận xét: 

+ Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là giao điểm của hai đường chéo.

+ Đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là đường chéo của hình chữ nhật.

b) Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ  là I.

 Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ  là:

R = IM = IN = IP = IQ = \(\sqrt {\frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

a) Hình vuông ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Suy ra đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm M và bán kính R = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

b) Hình chữ nhật STUV có O là giao điểm của hai đường chéo. Suy ra đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật STUV có tâm O và bán kính

R = \(\frac{{SU}}{2} = \frac{{\sqrt {S{T^2} + U{T^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 9 }}{2} = \frac{3}{2}\).

Ta thấy đường tròn ngoại tiếp hình vuông suy ra độ dài đường chéo hình vuông là đường kính của hình tròn.

Độ dài của đường chéo hình vuông là: d = 2.R = 2.3 = 6 cm.

Độ dài cạnh hình vuông là: a = \(\sqrt {\frac{{{d^2}}}{2}}  = \sqrt {\frac{{{6^2}}}{2}}  = 3\sqrt 2 \) cm.

Diện tích hình vuông là: \(3\sqrt 2 .3\sqrt 2 \) = 18 (cm²).