Bài 2: Hai đường chéo nhau và hai đường thẳng song song

Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt lấy trên 4 cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu 4 điểm P, Q, R và S đồng phẳng thì :

a) Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy

b) Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy

Cho tứ diện ABCD và 3 điểm P, Q, R lần lượt lấy trên 3 cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây :

a) PR song song với AC

b) PR cắt AC

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN

a) Tìm giao điểm A' của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD)

b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA' và Mx cắt (BCD) tại M'. Chứng minh B, M', A' thẳng hàng và BM'=M'A'=A'N

c) Chứng minh GA = 3 GA'

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây :

a) (SAC) và (SBD)

b) (SAB) và (SCD)

c) (SAD) và (SBC)

Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (DBC) và (DMN) ?

Cho tứ diện ABCD. Cho I và J tương ứng là trung điểm của BC và AC, M là một điểm tùy y trên cạnh AD

a) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (MIJ) và (ABD)

b) Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d, K là giao điểm của IN và JM. Tìm tập hợp điểm K khi M di động trên đoạn AD (M không phải là trung điểm của AD)

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ)

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC và BD. Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành. Từ đó suy ra 3 đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn ?

Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng IJ // CD ?

Cho hình chóp A.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy AD và BC. Biết AD = a. BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q

a) Chứng minh MN song song với PQ

b) Giả sử Am cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh rằng EF song song với MN và PQ. Tính EF theo a và b ?